高等数学解题思路总结-考研笔记

问题总结

求极限

  • 如果是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 先尝试同除以最高阶的无穷大变量,尝试消掉非最高阶部分。
  • 如果是指数函数取 \(\ln\) 变积形式
  • 洛比达(非万能,特别当存在类似 sinx 这种因子时,求导并不能简化。求导主要简化 x。的多项式)
  • 泰勒展开(包含等价无穷小,可解析的都可以用,当然能用其他方式化简还是先化简,适合看起来比较复杂的函数)
  • 导数定义式(通常针对含不定函数的极限)
  • 积分和式
  • 递推形式极限,先求不动点,再证明不动点是极限

已知极限求参数或参函数问题

  • 将 \(\lim\) 等式,化为显式带高阶无穷小量的等式,再变形对比
  • 泰勒展开

零点等式或不等式

  • 单调性证法
  • 求极值法(可能多次求导分析)
  • 找关键点用拉格朗日
  • 带拉格朗日余项的泰勒展开,且尽量在极值点展开
  • 找原函数(微分方程法)凑罗尔定理

积分方法

  • 万能代换 \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt\)
  • 对称区间定积分
    • 观察奇偶性,奇函数积分为0
    • 将对称区间拆成两半,其中一半变号再合并
  • 有理积分
    • 先拆项简化
  • 反常积分
    • \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\)
  • 倒代换
    • 当x与其根式集中于分母,倒代换可以将一部分换至分子(会因求到多出 \(-\frac{1}{x}\),所以仅当分母的x次数足够高时才使用)
  • 正余弦线性分子分解骚操作
    • \((ap-bq)\sin x+(bp+aq)\cos x=p(a\sin x+b\cos x)+q(a\sin x+b\cos x)^{‘}\)
  • \(\int sec^k x dx\)
    • 当 k 为奇数,上下补充\(\sin x\),化为 \(\frac{d\sin x}{(1-\sin^2 x)^{(k+1)/2}}\),再用有理函数积分的方法慢慢弄

定积分专属方法

  • 华里士公式 \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^n(x) dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^n(x) dx\)
    • n偶数 \(\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}…\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}\)
    • n奇数 \(\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}…\frac{2}{3}1\)
  • 区间翻转代换
    • 并得到自相似的部分,转化求解目标

空间平面直线相关问题

  • 求曲线绕某直线旋转后的旋转面方程
    • 用参数(旋转轴的方向为参数,题中通常为坐标轴方向),表示出对应投影至对应旋转面位置的原曲线位置距离旋转轴的半径。再把参数用坐标表示消掉(本来就坐标就不用消)

微分方程

  • 步骤
    • 先尝试分离变量
    • 观察是否齐次
    • 观察是否能代换为齐次
    • 观察是否能配一个积分因子
    • 是否为伯努利方程
    • 是否能把x看作y
    • 线性方程求解
  • 偏积分
    • 每次积分得到的常数是其他参数的函数

级数和函数

  • 提出或添加x因子使其变为常用泰勒级数
  • 求导,抵消分母的含n的x指数,之后再积分,且注意初值
  • 积分,用掉分子的带n的x指数,之后在求导
  • 求导或积分,整理之后配合原级数,构造微分方程求解
  • 对某常用级数,用 +1 和 -1 分别代入。相加抵消掉部分项,凑出原级数。

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