高等数学纲要-学习笔记

第一章

映射与函数

数列\函数 的极限

  • 如果收敛则极限唯一
  • 如果收敛则有界
  • 如果收敛则局部保号
  • 如果收敛则子列收敛

两个重要极限

\begin{align}
\lim_{x \to \inf}(1+\frac{1}{x})^x=e
\end{align}

\begin{align}
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1
\end{align}

  • 有界则有上确界
  • 单调且有界则有极限

柯西数列收敛,收敛数列为柯西数列

函数连续性

  • 连续函数复合也连续
  • 连续函和、差、积、商连续

函数间断点

  • 第一类间断点:左右极限都存在
  • 第二类间断点:左右极限不都存在

闭区间有界函数有最大最小值

零点定理、介值定理

一致连续

等价无穷小

第二章

导数定义

和、差、积、商、反函数、复合求导法则

高阶导数

  • 莱布尼兹公式

隐函数导数

参数方程导数

微分定义

和、差、积、商、复合(形式不变性)求微分法则

第三章

微分中值定理

  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理

洛必达法则

泰勒公式

  • 佩亚诺余项
  • 拉格朗日余项

函数单调性和凹凸性(拐点)

函数极值(大于或小于其邻域所有,不含等号)

函数最大最小值

函数图形描绘

曲率 K

曲率半径 1/K

第四章 不定积分

原函数

换元积分

求原函数的方法

第五章 定积分

牛顿-莱布尼兹公式

偶函数奇函数周期函数积分性质

\begin{align}
\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx$
\end{align}

\begin{align}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx = \int_0^{\frac{pi}{2}}\cos^n x dx
\end{align}

有界函数反常积分

无界函数反常积分

  • 无穷限审敛
    • 原函数有上届
    • 比较审敛
      • 和幂级数比
    • 绝对收敛必定收敛
  • 无界的审敛法
    • 比较审敛
      • 和幂级数比
    • 极限审敛
      • 如果存在 $q<1$ 使 $\lim_{x \to a^+}(x-a)^qf(x) $ 存在则收敛
      • 如果 $\lim_{x \to a^+}(x-a)f(x)>0$ 则发散

Gamma 函数

\begin{align}
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{s-1} dx
\end{align}

几何学上定积分

  • 极坐标
  • 旋转体体积
  • 曲线弧长

物理上应用

  • 水压
  • 引力\(F=G*m_1*m_2/r^2\)

第七章 微分方程

可分离变量的微分方程

齐次方程

一阶线形微分方程

  • 齐次
  • 非齐次
  • 转换至线形微分方程
    • 伯努利方程
    • 最低阶代换

\(y^{”}=f(y,y^{‘})\) 型,令 \(p = y^{‘}\)

常系数线形微分方程

常系数非齐次线性微分方程

  • 求特解
    • \(f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\) 型
      • y^{*}=x^kR_m(x)e^{\lambda x}
    • \(f(x)=e^{\lambda x}(P(x)\cos wx + Q(x)\sin wx)\)

欧拉方程

第八章 向量代数与解析几何

方向角、方向余弦

数量积、向量积、混合积(张量行列式)

平面及方程

  • 点法式
  • 一般方程

空间直线及方程

曲面及其方程

  • 旋转曲面
  • 柱面
  • 二次曲面

空间曲线及方程

  • 一般方程
  • 参数方程
  • 曲线在坐标面上的投影

第九章 多元函数微分法

内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集、无界集

极限

闭区域连续函数必有界且有最大值最小值

介值定理

一致连续性定理

偏导数、高阶偏导数

全微分:从自变量增量 到 因变量增量 的线形变换

  • 充分条件 偏导连续

多元复合函数求导法则

隐函数求导公式

空间曲线的切线与法平面

曲面的切平面与法线

方向导数与梯度

  • 梯度场是势场

多元函数极值

  • 必要条件:偏导为0
  • 充分条件\(f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}*f_{yx} > 0\)
    • \(f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}*f_{yx} < 0\) 无极值
    • \(f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}*f_{yx} = 0\) 不确定

条件极值

  • 拉格朗日乘数法

二元泰勒公式

第十章 重积分

笛卡尔坐标下二重积分

极坐标下二重积分

直角坐标三重积分

柱面坐标三重积分

球面坐标三重积分

应用

  • 曲面面积
  • 质心
  • 转动惯量
  • 引力

含参变量重积分(莱布尼兹公式)

\begin{align}
g^{‘}(x) & = \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt \\
& = \int_{a(x)}^{b(x)}f_x(x,t)dt + f(x,a(x))*a^{‘}(x) – f(x,b(x))*b^{‘}(x)
\end{align}

第十一章 曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分

对坐标的曲线积分

格林公式

曲线积分与路径无关的条件(势场)

全微分求积(固定起点曲线积分)

对面积的曲面积分

对坐标的曲面积分

高斯公式

任意闭曲面积分为零(无源场)

通量、散度

斯托克斯公式(空间中的格林公式)

环流量、散度

第十二章 无穷级数

柯西审敛原理

正项级数审敛法

  • 充分必要:部分和有界
  • 比较审敛法
    • 普通形式
    • 极限形式
  • 比值审敛法(d’Alembert 判别法):\(\lim_{n \to +\infty}u_{n+1}/u_{n} = p\) ,p>1发散,p<1收敛,p=1不确定
  • 可惜判别法:\(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}=p\),p>1发散,p<1收敛,p=1不确定

交错级数审敛法

  • 莱布尼兹定理
  • 绝对收敛/条件收敛

幂级数

  • 收敛半径 \(1 /( \lim_{n \to \infty}|a_{n+1}/a_{n}|)\)
  • 幂级数的加减乘保持较小方的收敛半径,出发缩减收敛半径。积分和求导不改变收敛半径

傅立叶级数

正弦级数、余弦级数

周期为 2p 的周期函数的傅立叶级数

\begin{align}
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos \frac{n\pi x}{p} + b_k \sin \frac{n\pi x}{p})
\end{align}

其中

\begin{align}
a_n & = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \cos \frac{n \pi x}{p} dx \\
b_n & = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \sin \frac{n \pi x}{p} dx
\end{align}

Leave a Comment