求极限方法总结

常用等价无穷小代换

本质为只留最高阶的泰勒展开。

当 \(t\to0\)

\begin{align}
\tan t &\sim t \\
\sin t & \sim t \\
1-\cos ^2 t &\sim \frac{x^2}{2} \\
(1+t)^k-1 &\sim kt \\
(e^t – 1) & \sim t \\
\ln(1+t) & \sim t
\end{align}

计算和幂函数的等价无穷小方法:寻找 \(x^k\) , 使

\begin{align}
\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^k}=c
\end{align}

则 \(f(x)\) 等价 \(cx^k\)

洛必达法则

非万能,有的时候求不出结果

积分和变换

\begin{align}
\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}f(\frac{i}{n}) &= \int_0^1f(x)dx \\
\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{i=n}f(a+(b-a)\frac{i}{n}) & = \int_b^af(x)dx
\end{align}

变形

用 e 消指数:\(f^g=e^{g \ln f}\)

当 \(x \to \infty\) 时,分式上下同除 \(x^n\) 使 \(\frac{\infty}{\infty}\) 变为 \(\frac{0}{0}\) 方便直接消或者进一步洛必达

麦克劳林展开

\begin{align}
\sin x &=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+o(x^{10}) \\
\cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+o(x^9) \\
e^x &=1+ x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\
e^{ix} &= 1 + ix -\frac{x^2}{2!} – \frac{ix^3}{3!} +\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!} …\\
&=\cos x + i\sin x\\
(1-x)^{-1}=\frac{1}{1-x} &=1+x+x^2+x^3+x^4 … \\
(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x} &=1-x+x^2-x^3+x^4 … \\
\ln(1-x)&=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} …\\
\ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}…\\
tan x &=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^6) \\
(1+x)^t & =1+tx+\frac{t(t-1)x^2}{2!}+\frac{t(t-1)(t-2)x^3}{3!}+\frac{t(t-1)(t-2)(t-3)x^4}{4!}+o(x^5) \\
\end{align}

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