泊松分布推导

当我们知道任意 \(T\) 时间内,某事件发生的期望次数是 \(\lambda\) 。

且知道事件每次发生都是独立的,没有相关影响,我们应该如何计算 \(T\) 时间内事件发生次数的概率分布呢?

我们可以考虑将这段 \(T\) 时间进行均匀划分,比如划分为 \(n\) 段。

那么显然,每段发生事件的期望次数为:

\begin{align}
E=\frac{\lambda}{n}
\end{align}

只要 \(\lambda\) 有限且既定,当我们把 \(n\) 取得足够大,总能使 \(E\) 远小于 \(1\) 。

而此时,我们可以将 \(E\) 近似看作任意一小段,发生一次事件的概率(发生两次及以上概率是 $\frac{1}{n}$ 的高阶无穷小)。

于是,问题变为了 \(n\) 次时机下,每次有 \(P=E=\frac{\lambda}{n}\) 概率发生某事件,最终一共发生次数的概率分布。可见就是二项式分布。

于是可套用二项式分布,发生 \(k\) 次的概率为:

\begin{align}
\dbinom{n}{k}(p)^k(1-p)^{n-k}
\end{align}

代入 \(p=\frac{\lambda}{n}\) 求 \(n\to\infty\)的极限:

\begin{align}
\lim_{n\to\infty}
\frac{(n)*(n-1)*…*(n-k+1)}{k!}*
\frac{\lambda^k}{n^k}
*(1-\frac{\lambda}{n})^n
*(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}
\end{align}

其中

\begin{align}
&\lim_{n\to\infty}\frac{(n)*(n-1)*…*(n-k+1)}{n^k} =1 \\
&\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k} =1 \\
&\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n =e^{-\lambda}
\end{align}

于是化简后,所求的 \(T\) 时间内,发生 \(k\) 次的概率为

\begin{align}
\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\end{align}

即熟悉的泊松分布公式。

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