交换悖论解析

1. 介绍

交换悖论(Exchange Paradox)或称双信悖论,由 Christensen and Utts 提出。

描述了一个情景:你面前有两个信封,你唯一知道的信息是里面一封装的钱是另一封的两倍。这时你拿起了一个信封,拆开看见其中有 x 元。而另一个人拿起了另一个信封。这时他问你:是否愿意交换信封?

悖论描述:当然应该换,原因在于对方的信封内有 50% 概率是 2x 现金,有 50%概率是 0.5x 现金,即期望是 1.25x 现金,明显高于 x,所以在不考虑前景理论损失厌恶的情况下明显应该换。

但如果这样的解释是合理的,那为什么从第三方角度来看,交换后的两人整体都没有赚?

甚至,如果你不看自己的信封,直接设定其包含 t(未知数)元,按刚才的推导换了之后期望变为了 1.25t,但此时按刚才的逻辑而言则应该继续无休止地换,这显然有些不合理。

2. 经典解释

令一个信封装有 m 元,另一个信封装有 2m 元。设自己当前拿的信封中有 X 元,对方当前拿的信封中有 Y 元。

由于是抽取大或小可以认为是等概率随机的即 \(P(X=m)=P(X=2m)=0.5\)

基于这两种事件下 Y 的条件概率分布是 \(P({Y=2x|X=m})=1\) 与 \(P({Y=0.5x|X=2m})=1\)

可以计算 Y 的期望值:\(E(Y)=P(X=m)P({Y=2x|X=m})*2m+P(X=2m)P({Y=0.5x|X=2m})*m=1.5m\)

而 X 的期望值:\(E(Y)=P(X=m)*m+P(X=2m)*2m=1.5m\) 是和 Y 期望值相等的。

所以换或者不换其实没有区别。

悖论解释的问题,在于其解释时,没有固定两个信封的内容,其实是修改了原本描述情景

悖论解释的情景是先你给了一个带某确定金额 m 元的信封,再基于 m 进行等概率随机生成 2m 或者 0.5m 的新信封。如果是这样的设定,那确实应该换(换的期望是1.25m),但拿第二个信封的人就不愿意换了(他可以计算知道交换的期望收益为 −m∗0.5+0.5m∗0.5=−0.25m)。

3. 有分布信息下的决策

由于不存在正整数或正实数全集上的均匀分布。随机生成的信封中的钱不会是均匀随机的,一定服从某一个分布。如果知道这个分布的一丝丝信息,才可以用于指导决策以获取更高的期望收益。

Christensen and Utts 也是这样解释这个悖论的。

假设金额低的信封的金额服从某分布: \(M~\pi(m)\) 其中 \(\pi(m)\) 是概率密度

再令 X 为你的信封中的金额,则 \(P(X=m|M=m)=P(X=2m|M=m)=0.5\)

因此可以用贝叶斯计算知 \(P(M=x|X=x)=\frac{\pi(x)}{\pi(x)+\pi(x/2)}\)

且 \(P(M=x/2|X=x)=\frac{x/2}{\pi(x)+\pi(x/2)}\)

交换的期望收益为 \(\frac{\pi(x)}{\pi(x)+\pi(x/2)}2x+\frac{x/2}{\pi(x)+\pi(x/2)}*x/2\)

再整理知道,当 \(\pi(\frac{x}{2})<2\pi(x)\) 时应该交换。

换一个不严谨但更形象的理解是:当前金额的一半处的概率足够低,就可以交换,因为赔的可能更低,总体赚的可能就越高

参考资料

<Statistical Inference 2nd Edition> – Georege Casella

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