求原函数方法总结

三角函数转多项式

统一为 \(\sin x\) 多项式,要求指数合适

\begin{align}
& \sin^{2k+1}x*\cos^n x \mathrm{d}x \\
&= -\sin^{2k}x*\cos^n x \mathrm{d}\cos x \\
&= -(1-\cos^2 x)^{k}*\cos^n x \mathrm{d}\cos x
\end{align}

统一为 \(\cos x\) 多项式, 要求指数合适

\begin{align}
&sin^{n}x*\cos^{2k+1} x \mathrm{d}x \\
&= \sin^{n}x*\cos^{2k} x \mathrm{d} \sin x \\
&= \sin^{n}x*(1-\sin^2x)^{k} \mathrm{d} \sin x
\end{align}

统一为 \(\cos 2x\) 多项式,利用 \(\sin^2 x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\) 和 \(\cos^2 x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)\)

\begin{align}
&sin^{2n}x*\cos^{2m} x \mathrm{d}x \\
&= \frac{1}{2}(1 – \cos 2x)^n + \frac{1}{2}(1+\cos 2x)^m \mathrm{d}x
\end{align}

统一为 \(\tan x\) 多项式,利用 \(\sec^2 x = 1+\tan^2x\)

\begin{align}
&\tan^n x \sec^{2k}x \mathrm{d}x \\
&= \tan^n x \sec^{2k-2}x \mathrm{d}\tan x \\
&= \tan^n x (1+\tan^2x)^{2k-1} \mathrm{d}\tan x
\end{align}

统一为 \(\sec x\) 多项式,利用 \(\tan^2 x = \sec^2 x – 1\) 和 \(\mathrm{d}\sec x = -\tan x \sec x\)

\begin{align}
&\tan^{2k+1} x \sec^{n}x \mathrm{d}x \\
&= \tan^{2k} x \sec^{n-1}x \mathrm{d}\sec x \\
&=(\sec^2 x – 1)^k \sec^{n-1}\mathrm{d}\sec x
\end{align}

利用积化和差公式

\begin{align}
\cos nx\cos mn = \frac{1}{2}(\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)) \\
\sin nx\cos mn = \frac{1}{2}(\sin((n-m)x)+\sin((n+m)x))
\end{align}

分部积分

要求某一部分通过求导可以变简单,且另一部分求原函数不会变复杂。这种情况下,将不会变复杂的部分挪至微分形式,再利用分部积分

有理函数积分

因式分解为最简单的几种形式

其他代换方法

三角函数代换消除根号

倒代换

三角函数转有理函数

利用万能公式

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