空间直线的三种方程转换关系

1. 方程类型

1.1 一般方程

\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\
\end{cases}

可看作用两个平片确定的交线

1.2 对称方程(点向式方程)

\begin{align}
\frac{x-X_p}{X_d} = \frac{y-Y_p}{Y_d} = \frac{z-Z_p}{Z_d}
\end{align}

可看作从 p 点出发(可以往两边走),受到 d 方向约束的直线

1.3 参数方程

\begin{cases}
x=tX_d+X_p \\
y=tY_d+Y_p \\
z=tZ_d+Z_p
\end{cases}

和对称方程没有区别,仅形式改了下,可看作从 p 点出发(可以往两边走),受到 d 方向约束的直线

2. 转换方式

从\至一般方程对称方程参数方程
一般方程1.求两平面法向量的叉积,为方向d

2.求两平面任意一个交点作为起点p,注2
1.求两平面法向量的叉积,为方向d

2.求两平面任意一个交点作为起点p,注2
对称方程1. 找两个垂直于向量d 的非平行向量作为两平面的法向量,注1
2. 根据p求出偏移量 \(D\)
直接对应着变形
参数方程1. 找两个垂直于d的非平行向量作为两平面的法向量,注1
2. 根据p求出偏移量 \(D\)
直接对应着变形

注1:如对于向量 (1,1,1) ,为了找两个垂直它的向量,可以先随意拍两个值,不要全零就行,作为前2维,第三维保留未知。如(1,2,z)。令点积为0即可求出z。1*1+1*2+z = 0 ,即 z=-3。这样就得到一个垂直向量,同样方法换一下前两值就可以再得到一个垂直向量。

注2:相当于解三元一次方程组,仅两个方程,可令其中一元为某个固定值,求解即可

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