利用超越数伪随机性质分析数列

说明

对一个知乎问题的个人回答,问题为:

  • 讨论数列 \(\{\frac{\tan(n)}{n}\}\) 的有界性。
  • 进一步讨论是否存在最小的 \(\lambda_0\) ,使对任意 \(\lambda > \lambda_0\),使 \(\{\frac{\tan(n)}{n^\lambda}\}\) 有界

思考

根据超越数的性质(超越数可以用来生成伪随机数),想到也许可以利用统计,进行分析意义上不太严格的证明,可以至少得到估计性质结论。为大家找点灵感和思路。如果有错误,欢迎各位大佬指点。

首先 \(n\)分别取 \(1,2,3,….,T\) 。\(n \%(2\pi)\)为 \(n\)除以 \(2\pi\) 的余数。将生成的各个 \(2\pi\) 用其 \(n\) 作为序号。

假设1:在 \(T \to +\infty\) 时 \(n \%(2\pi)\) 在 \((0,2\pi)\) 内趋于均匀。即对 \((0,2\pi)\) 内的任意开子区间 \((t-\varepsilon,t)\) 捕获 \((0,2\pi)\) 的比例趋于相同。

假设2:对 \((0,2\pi)\) 内的任意开子区间 \((t-\varepsilon,t)\),各区间捕获最小序号将随着 \(\varepsilon \to 0^+ \) 而趋于随机。

(直觉上有理由相信是对的,由于任何有限的序号都将随着 \(\varepsilon\) 减小而被排除在区间以外,所以对足够小的区间们而言,都是在嗷嗷待哺新的伪随机余数)

暂不知道这伪随机性质的假设如何证明,但如果假设都ok,则可以开始推导

忽略掉 \(-\frac{\pi}{2}\) ,仅从 \(\frac{\pi}{2}\) 附近考虑。由于 \(n=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) 没有同时n,k为正整数的解,所以 \(n \%(2\pi)\) 永远取不到 \(\frac{\pi}{2}\)

考虑开区间 \((\frac{\pi}{2}-\varepsilon,\frac{\pi}{2})\)

基于假设1,对 \(\forall \varepsilon>0\) 有 \(\frac{\varepsilon}{2\pi} + \sigma_1(T) \leq P\{\frac{\pi}{2}-\varepsilon<n\%(2\pi)<\frac{\pi}{2}\}\leq\frac{\varepsilon}{2\pi}+\sigma_2(T)\) 

其中当 \(T \to +\infty\) 时, \(\sigma_1(T) \to 0,\sigma_2(T)\to0\)

基于假设2,则当 \(\varepsilon \to 0^+\) 时,有\(E(\min(n)|\frac{\pi}{2}-\varepsilon<n\%(2\pi)<\frac{\pi}{2}) \to \frac{2\pi}{\varepsilon}\) 

即第一次落入  \((\frac{\pi}{2}-\varepsilon,\frac{\pi}{2})\) 的序号的期望是 \(\frac{2\pi}{\varepsilon}\) 。且落入的位置均匀。

(注: \(T\) 的增长要求比 \(\varepsilon\) 的缩小更快,以保证样本足够多,显现出假设中的随机性,即需满足 \(T\varepsilon \to +\infty\) )

考虑有界性只用考虑对任意 \(\varepsilon\) 最小的那个序号,且由于无限数列本是不断出现的,性质几乎等同重复实验,应可以用期望类比。

所以对于变化中的任意 \(\varepsilon,T\) ,

\begin{align}
\lim_{n \to +\infty}\max \frac{\tan n}{n^\lambda}=E{\lim_{\varepsilon \to 0^+} \max\frac{\tan{n}}{n^\lambda}}
\end{align}

由最序号对应的余数在区间内均匀分布,可用积分求期望,即上式

\begin{align}
=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\frac{\frac{1}{\varepsilon} \int_{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}}\tan x dx}{(\frac{2\pi}{\varepsilon})^\lambda}
\end{align}

再将 \(\tan x\) 积出来,并整理一下,可以得到上式结果为

\begin{align}\lim_{\varepsilon \to 0^+,a \to 0^+}- (2\pi)^{-\lambda}\varepsilon^{\lambda-1} \ln \cos x|^{\frac{\pi}{2}-a}_{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}\end{align}

会发现这时的其散敛性是和 \(a\) 相对于 \(\varepsilon\) 的收敛速度是有关的。如果考察 \(a\) 的意义,可见其只是一个用于计算反常积分的辅助变量,于是对任意确定的 \(\varepsilon\) 而言, \(a\) 都应是无穷小。

于是可令 \(a = \varepsilon^m\) 其中 \(m\) 进一步满足 \(m>\varepsilon^{-k},k \to + \infty\) 。

代入 \(a = \varepsilon^m\) 进一步化简:

\begin{align}
=\lim_{\varepsilon \to 0^+} – (2\pi)^{-\lambda}\varepsilon^{\lambda-1} \ln \frac{\sin(\varepsilon^m)}{\sin(\varepsilon)} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} -\frac{ (2\pi)^{-\lambda}\ln \varepsilon^{m-1}}{\varepsilon^{1-\lambda}}
\end{align}

当 \(\lambda=0\) ,显然趋于正无穷大,可以估计 \({\tan n}\) 无界

当 \(\lambda = 1\) ,分母为 1,上方正无穷大,可以估计 \({\frac{\tan n}{n}}\) 无界

当 \(\lambda > 1\)  ,上下都趋于正无穷大,可以洛比达进一步化简

\begin{align}=\lim_{\varepsilon \to 0^+,m \to +\infty}-\frac{ (2\pi)^{-\lambda}\varepsilon^{1-m}(m-1)\varepsilon^{m-2}}{(1-\lambda)\varepsilon^{-\lambda}}
\end{align}

整理一下

\begin{align}=\lim_{\varepsilon \to 0^+,m \to +\infty} – (2\pi)^{-\lambda}(1-\lambda)^{-1}\varepsilon^{\lambda-1}(m-1)
\end{align}

由 \(m>\varepsilon^{-k},k \to + \infty\) ,所以上式趋于正无穷。

且对任意确定的 \(\lambda\) 而言,上式都趋于正无穷大。

所以按这种伪随机统计的方法来看,数列 \({\frac{\tan n}{n^\lambda}}\) 总无界,且不存在 \(\lambda_0\)  能使其有界

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