微分方程法解零点问题

1. 零点问题与微分方程法

这类问题通常题目会给出一些条件,并要求证明某区间存在 \(\xi\) 使某个等式成立。

1.1 例题

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续,在 \((0,1)\) 内可导,有 \(f(1)=2f(0)\)

试证明至少存在一点 \(\xi \in (0,1)\) 使 \((1+\xi)f^{‘}(\xi)=f(\xi)\)

1.2 解决思路

要求解这个问题,通常容易想到去找一个辅助函数,比如 \(\phi(x)\) 使其满足 \(\phi^{‘}(x)=(1+x)f^{‘}(x)-f(x)\)

有这样的函数之后,只要满足闭区间连续,开区间可导,接下来我们只需找到两个端点 \(x_1,x_2 \in (0,1)\) 且 \(x_1 \neq x_2\) 满足 \(\phi(x_1)=\phi(x_2)\)

根据罗尔定理则有 \(\xi \in (x_1,x_2)\) 满足 \(\phi^{‘}(x)=(1+\xi)f^{‘}(\xi)=f(\xi)\)

即可完成证明。

1.3 上述思路的执行困境

上述思路最容易遇见的问题是有可能 \(\phi(x)\) 并不容易找到,甚至可能不存在满足 \(\phi^{‘}(x)=(1+x)f^{‘}(x)-f(x)\) 的 \(\phi^{‘}(x)\)

对上述例题而言,将 \(\phi^{‘}(x)=(1+x)f^{‘}(x)-f(x)\) 变形为 \(d\phi(x,f(x))=(1+x)df(x)-f(x)dx\),就可发现其并不满足 \(\frac{\partial (1+x)}{\partial x} \neq \frac{\partial (-f(x))}{\partial f(x)}\) ,至少无法直接进行偏积分。

1.4 微分方程法

这是辅导书上提供的方法。

令 \((1+x)df(x)-f(x)dx=0\) 这是一个微分方程,可容易地分离变量积分解得 \(|f(x)|=C|1+x|\)。

注:此时目的不应是解出 \(f(x)\) ,如果试一试代回题目,可以发现直接满足 \(f(1)=2f(0)\) 但这并不能达到要证明的目标。

事实上 \(|f(x)|=C|1+x|\) 是 \(f(1)=2f(0)\) 的充分不必要条件,所以不能反向完成证明。

正确的方法是将 \(|f(x)|=C|1+x|\) 改写为 \(\frac{f(x)}{1+x}=C\)

此时可直接用 \(\phi(x)\) 替代 C,得到 \(\phi(x)=\frac{f(x)}{1+x}\)

发现 \(\phi(0)=\phi(1)\) ,于是应有 \(\xi \in (0,1)\) 使 \(\phi^{‘}(\xi)=0\)

而 \(\phi^{‘}(x)=\frac{(1+x)f^{‘}(x)-f(x)}{(1+x)^2}\)

即有 \((1+\xi)f^{‘}(\xi)-f(\xi)=0\)

2. 微分方程法原理

书上这个方法让我比较迷惑的是,为什么将常数 C 修改为 \(\phi(x)\),就能得到的方程就满足目标方程。

经过一些思考和查询后了解到,虽然 \(d\phi(x,f(x))=(1+x)df(x)-f(x)dx\) 不满足全微分方程,但我们可以用积分因子使其成为全微分方程。

效果等同于添加一个 \(g(x)\) 因子,使 \(dh(x,f(x))=g(x)(1+x)df(x)-g(x)f(x)dx\)

这对应于 \(h^{‘}(x)=((1+x)f^{‘}(x)-f(x))g(x)\)。只要在区间内 \(g(x) \neq 0\) ,则可以一样地用罗尔定理得到结论。

但这样的积分因子一定存在吗?可以证明 当 \((1+x)df(x)-f(x)dx=0\) 有解时,积分因子存在。证明过程见下方文章:

且可以证明 \((1+x)df(x)-f(x)dx=0\) 的任意解 \(u(x,f(x))=C\) 正好可以对应于一个 \(h^{‘}(x)=u(x,f(x))\)

这是将常数 C 修改为 \(\phi(x)\) 能够有效的原因。

3. 微分方程法补充说明

3.1 积分因子不唯一

由于积分因子 \(g(x)\) 通常不唯一,所以可以得到多种方程,从例题而言,我们既可以得到 \(\frac{f(x)}{1+x}=C\),也可以得到 \(\frac{1+x}{f(x)}=C\) 这对应了两个 \(g(x)\),不过可以发现对求解例题而言,两者都是有效的。

3.2 微分方程法也有局限

  • 需要目标方程能改写为全微分的形式
  • 解微分方程能解出 \(u(x,f(x))=C\)
  • \(g(x)\) 最好不为0,或容易对为0的点集进行一步讨论

4. 其他优秀思路

https://www.zhihu.com/question/335442465/answer/752399798

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