高等数学解题思路总结-考研笔记

\(E=mc^2\)

问题总结

求极限

• 如果是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 先尝试同除以最高阶的无穷大变量，尝试消掉非最高阶部分。
• 如果是指数函数取 \(\ln\) 变积形式
• 洛比达（非万能，特别当存在类似 sinx 这种因子时，求导并不能简化。求导主要简化 x。的多项式）
• 泰勒展开（包含等价无穷小，可解析的都可以用，当然能用其他方式化简还是先化简，适合看起来比较复杂的函数）
• 导数定义式（通常针对含不定函数的极限）
• 积分和式
• 递推形式极限
  • 先求不动点，找找感觉
  • 考虑能否证单调有界
  • 考虑能否利用拉格朗日中值定理构造递推证明

已知极限求参数或参函数问题

• 将 \(\lim\) 等式，化为显式带高阶无穷小量的等式，再变形对比
• 泰勒展开

零点等式或不等式

• 单调性证法
• 求极值法（可能多次求导分析）
• 找关键点用拉格朗日
• 带拉格朗日余项的泰勒展开，且尽量在极值点展开
• 找原函数（微分方程法）凑罗尔定理

积分方法

• 万能代换 \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt\)
• 对称区间定积分
  • 观察奇偶性，奇函数积分为0
  • 将对称区间拆成两半，其中一半变号再合并
• 有理积分
  • 先拆项简化
• 反常积分
  • \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\)
  • \(\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx=n!\)
• 倒代换
  • 当x与其根式集中于分母，倒代换可以将一部分换至分子（会因求到多出 \(-\frac{1}{x}\)，所以仅当分母的x次数足够高时才使用）
• 正余弦线性分子分解骚操作
  • \((ap-bq)\sin x+(bp+aq)\cos x=p(a\sin x+b\cos x)+q(a\sin x+b\cos x)^{‘}\)
• \(\int sec^k x dx\)
  • 当 k 为奇数，上下补充\(\sin x\)，化为 \(\frac{d\sin x}{(1-\sin^2 x)^{(k+1)/2}}\)，再用有理函数积分的方法慢慢弄

定积分专属方法

• 华里士公式 \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^n(x) dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^n(x) dx\)
  • n偶数 \(\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}…\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}\)
  • n奇数 \(\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}…\frac{2}{3}1\)
• 区间翻转代换
  • 并得到自相似的部分，转化求解目标

空间平面直线相关问题

• 求曲线绕某直线旋转后的旋转面方程
  • 用参数（旋转轴的方向为参数，题中通常为坐标轴方向），表示出对应投影至对应旋转面位置的原曲线位置距离旋转轴的半径。再把参数用坐标表示消掉（本来就坐标就不用消）

微分方程

• 步骤
  • 先尝试分离变量
  • 观察是否齐次
  • 观察是否能代换为齐次
  • 观察是否能配一个积分因子
  • 是否为伯努利方程
  • 是否能把x看作y
  • 线性方程求解
• 偏积分
  • 每次积分得到的常数是其他参数的函数

级数和函数

• 提出或添加x因子使其变为常用泰勒级数
• 求导，抵消分母的含n的x指数，之后再积分，且注意初值
• 积分，用掉分子的带n的x指数，之后在求导
• 求导或积分，整理之后配合原级数，构造微分方程求解
• 对某常用级数，用 +1 和 -1 分别代入。相加抵消掉部分项，凑出原级数。