1. WHY 为什么学

量子力学中有很多有趣的现象：

1. 测量/坍缩
2. 因果倒置
3. 测不准
4. 等等

这些无法用经典物理或者常识去解释，却又是被实验发现的现象，即大概率真实存在于世界的。为了更好的理解世界，同时也为了更好认知这些超常识的有趣现象，所以值得了解一下。相对于系统化学习，看科普视频能看懂个现象，但不能掌握完整逻辑和细节。

2. HOW 如何学

我是学了一段时间反过来写的这篇文章（帮自己梳理思路）。所以对量子力学有一些初步的了解。

量子力学由于其反直觉和微观，导致其很不直观。经典物理我们容易把研究对象想象成小球、汽车等等，可以借助现实中我们经验丰富的对象帮助理解定理和现象。量子力学则没办法，虽然可以用宏观世界中的经验强行类比，但往往差别很大。

但好在我们有数学这个强大的建模工具。可以把一些没有经验的东西给建模成数学语言，并基于数学去探究量子物理对象，运用方式不限于建模、预测、理解。

也是因此量子物理学习过程中很像在学数学，大量的时间都在做计算推导。

同时需要的数学工具也不太基础，需要铺垫一些。

2.1 学习路径

1. 高等数学（或者更严谨的实分析）：熟悉积分、微分、微分方程等基本大学数学知识。
2. 线性代数：理论物理/量子力学 中常用到向量、特征值、算子 等等。
3. 复分析：波函数就涉及复数，需要对复数和复数的微积分有所熟悉。
4. 泛函分析：无限维向量空间、函数空间 是量子力学中描述量子态的主要数学结构。
5. 理论物理：拉格朗日力学、哈密顿力学

2.2 学习资料

陶哲轩的实分析书：PDF链接

朗道的理论物理书：PDF链接

林立老师的理论力学课：Youtube链接

林立老师的量子物理课：B站链接

林立老师的常微分方程课：B站链接

林立老师的偏微分方程课：B站链接

3. 理论物理重点笔记

注：主要参考 朗道的理论物理书 和 林立老师的理论力学课

3.1 找到拉格朗日函数

首先想找一个拉格朗日函数，方便后续分析使用。

找拉格朗日的出发点和思路：

• 一个能反映例子系统状态的函数
  • 且符合我们对系统状态的的一些预期
    • 如惯性系中，预期 空间/时间 平移不改变系统状态 等等
  • 要满足最小作用量原理

3.1.1 广义坐标

描述一个粒子在三维空间中的坐标需要3个变量 \(q_1,q_2,q_3\) ，N 个粒子则需要 3N 个坐标。这些变量不一定是笛卡尔空间坐标，如\(x_1,y_1,z_1\)，还可以是球面坐标系或者其他形式坐标（注意有些量纲不是长度）。把这些变量统称为 广义坐标。

对应于 广义坐标，就有广义速度 \(\dot{q}\) ，即各个坐标对时间 \(t\) 的一阶导数。

经验表明（注意仅仅是经验）同时给定系统的所有广义坐标和速度就可以确定系统的状态，并且原则上也可以预测以后的运动。

从牛顿力学的数学角度看，在某时刻给定所有广义坐标和广义速度就唯一地确定了该时刻的加速度。

不过牛顿力学并没有触及坐标的三阶导以及更高阶导。这在通常情况下是没问题的，通过一阶二阶导已足够完成推演。但在一些特殊数学情况下会有问题，如诺顿穹顶。诺顿穹顶就是在高阶导有奇异不过按林立老师的意思，现实世界中的各种物理量一定连续，且其一阶导二阶导乃至于N阶导都连续（连续也就有限），所以不会出现类似诺顿穹顶的情况。

3.1.2 最小作用量原理

针对力学系统而言，最小作用量原理则对应于哈密顿原理：https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton%27s_principle

朗道的理论物理书对最小作用量原理的陈述大意是：最小作用量原理是力学系统运动规律的最一般表述。

注：书中紧接着就引入 拉氏量 开始对其进行定义和推导，个人看对内部逻辑感觉有些迷糊（书逻辑实际没有问题，写得很好，我初学的时候的理解问题）。好在林立老师讲了一下，懂了：我们可以把 最小作用量原理 看作一种物理学家的偏好或者信仰（此原理确实已经在物理学多个学科中有了应用），可以尝试从这个信仰出发，进行推导，并发现需要 拉氏量 长成 拉氏量 的形状 \(L=T-V\) 才能满足牛顿力学，换句话说是在凑答案凑出了这个形式，或者说找到的拉氏量。而非先有 拉氏量 再有 拉氏量 在 力学 中的 最小作用量原理 应用（这种情况下会很难解释动能减势能的意义）

力学中的作用量：\(S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt\)

作用量最小时变分为0（极值的必要条件）： \(\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L \, dt = 0\)

物理系统由 广义坐标、广义速度、时间 完全描述，对应： \(L = L(q_i, \dot{q}_i, t)\)

进而可以推导出 欧拉-拉格朗日方程：\(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) – \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\)

3.1.3 伽利略相对性原理

惯性参考系由于其拥有一些很方便的特性，进而使我们一般喜欢用它：

• 空间各向同性（相对论假设）、时间均匀（相对论假设）、不受力保持静止（牛顿第一定律）

注：Thanks to 林立老师讲解，牛顿第一定律看起来被牛顿第二定律所包含，但实际上是有独立存在价值的，其价值就是 定义牛顿定律惯性系。实践角度则是找一个尽量不受外界干扰或干扰足够小的物体，当其静止或匀速直线运动时，观察者所在的参考系即可视为惯性参考系。定义或者找到了惯性参考系，才有牛顿第二定律发挥作用的空间。

进一步有各种实验证明在无数惯性系中，所有力学规律和力学关系式都是等价的，时空的性质也是相同的，这意味着没有实验能够区分出一个绝对静止的参考系，此为伽利略相对性原理。（不过在接近光速的情况下，此原理隐含的时空性质相同需要 修正/扩展：改 伽利略变化 为 洛伦兹变换）

由于有这些性质，所以惯性系中的质点系统的 拉氏量 的方程应不显含 坐标 r 和 时间 t，这两个变量可以任意取0点进而改变绝对值，如果显含则L也会随之变化。但我们要求L不随这些0点选取变化而变化。

进而 L 只能包含 \(\dot{r}\) 速度，且由于各向同性，应不考虑速度的方向，那只能考虑大小，即 \(\dot{r}^2\) 或 \(\left|\dot{r}\right|\) （这两个包括4次方等等都没有信息上的区别）

3.1.4 质点和的拉格朗日函数

先考虑质点的拉格朗日函数。

综合我们对拉氏量的各种要求/特性：

1. 最小作用量要求：满足欧拉-拉格朗日方程
2. 额外的可加性要求：固定统一的系数
3. 还没被抹掉的自由度：拉氏量定义允许相差一个对时间的全导数项
4. 惯性系要求：仅显含 \(\dot{r}^2\)

继续基于伽利略变化拉氏量不变的要求，可以推导出 \(\frac{\partial L}{\partial v^2}\) 和 \(v\) 无关，即单从 \(v^2\)一项的关系而言， \(L\) 和 \(v^2\) 成正比

即 \(L=k*\dot{r}^2\) ，可以后见之明地令 \(k=\frac{m}{2}\)，并以此定义 m 为质量（只有在可加性的约束下系数才有意义）。再讨论此系数的一些约束，如m不能为负（否则变成最大作用量了）

再考虑质点系的拉格朗日函数。为考虑相互作用，进而加入一个和位置相关的势能函数。

注意势能函数的零点可以随意选取，进而只有相对值是有意义的。

3.2 找到哈密顿函数

描述系统状态的函数不仅只有拉格朗日函数。

还可以有哈密顿函数

哈密顿函数可以表征系统的总能量（动能+势能）。

不过哈密顿函数并不能作为作用量满足最小作用量原理。

4. 量子力学重点笔记

4.1 公理化量子力学

林立老师讲的是公理化量子力学，类似公理化数学的思路，建立公理，并由公理出发推导出整个理论体系

参考：https://www.bilibili.com/video/BV1xC411G7VS

4.1.1 态矢量公理（State Vector）

系统的状态由一个复希尔伯特空间\(\mathcal{H}\) 中的一个单位向量（态矢量）来表示，通常记为\(∣ψ⟩\)。所有可能的状态组成一个希尔伯特空间。

4.1.2 物理量公理

每个物理量（如位置、动量、能量等）对应一个厄密特算符，这些算符作用在态矢量上。自伴算符的特征值是该物理量的可能测量结果。

4.1.3 可展开公理

厄密特算符对应的所有本征函数组，构成对应空间中的一组归一正交基底

注：对于有限维的向量可以靠数学证明，但无限维目前无法证明，但暂时看起来是对的，所以变为公理用。

4.1.4 测量公理

对任意物理量的任意一次测量行为一定获得一个确定的结果（不发散的实数）。

且此实数会是该物理量算符的某个本征值。

且测得此本征值的概率会等于态函数在被测物理量的特征函数构成的基地展开后对应本征态的系数的平方（且由于本征函数构成归一正交基底，所以线性无关，展开只用算投影即可）

4.1.5 坍缩公理

任意一次测量后，态函数会瞬间坍缩到测量的值对应的本征函数空间（有可能有简并或几何重数）

4.1.6 态函数演化公理（Evolution）

孤立量子系统随时间的演化由薛定谔方程描述

\(i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \psi(\mathbf{r}, t)\)