简谈为什么会有悖论

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悖论也分几种

1.非数理悖论

大部分悖论只是冠以悖论之名,其逻辑或数理非常普通,并没有任何问题

1.1 例如芝诺悖论

芝诺悖论从当代的角度来看,本质是偷换概念

芝诺悖论先构造了一个状态序列:定义 状态k 为阿喀琉斯追至 状态k-1 时的乌龟所在位置的状态。

容易论证发现 当 \(k \to +\infty\) ,状态k 中的阿克琉斯 还是没有追上 状态k 中的乌龟。

由此得出结论“永远追不上”。

之所以第一次听起来感觉这个结论是悖论,是由于我们习惯的“永远”指时间 \(T \to +\infty\) 而非这里的什么状态序号 \(k \to +\infty\) 。结论偷换了概念。

缕清楚概念后其实得到的结论本应是“无论状态的序号 k 多大,阿喀琉斯也没追上”,这结论显然就没有任何问题。

当然,只是现在看起来显然。从芝诺当时时代来看,人们还没认识到无穷小,更不知道无穷级数能收敛,无限的状态直观上理应对应无限的时间。所以在曾经确实是数理上的悖论。芝诺悖论在推动数理发展上是很有价值的。

1.2 例如辛普森悖论

再比如辛普森悖论,只是由于常规思维的惯性误区,其数学结构也没有任何问题。

辛普森悖论中,常规思维认为“每个部分密度都更大,那总体平均密度也应更大”,听着有道理,是因为通常思维会默认被对比的“每个部分”比例相同。

而在辛普森悖论的各个案例中,这个部分的比例是不同的。案例中部分密度大的那方,其内部高密度相对高的部分比例很低,导致总体平均密度低。

就像我有一屋子的棉花和一箱子的铁,你有一屋子的铁和一箱子的棉花,即使我的棉花比你的棉花密度高,我的铁也比你的铁密度高,我总密度也还是低。

个人感觉生活中的遇见的大部分悖论,都源自这样的表述或者理解的问题,只要用数理逻辑工具稍耐心分析,就能清楚症结,指导正确的决策,这是需要专门练习数理逻辑的现实意义。

2. 数理悖论

除此之外,数理中也确实有自己的悖论

简单结构为 p与非p 同时成立。

也可指由命题 p 出发,经过严格推导,能得到 非p。

这违背了逻辑中通常期望的矛盾律,从而成为悖论。

而所谓的“严格推导”的严格,是需要有一套较完善的工具支撑的,所以按我的了解,这种悖论被略严格叙述也是在集合论出现之后(如果错误欢迎指点)。

2.1 罗素悖论

有比如 “我只知道我什么都不知道”、“上帝能否造出自己搬不动的石头”、“这句话是错的” 等等。

这些悖论都和罗素悖论(包装上故事后就是”理发师悖论”)有所同构:

构造集合 \(\Omega = \{x:x\notin x\} \),基于集合论可以同时推论出 \(\Omega \in \Omega\) 和 \(\Omega \notin \Omega\) 两个结论,违背矛盾律。

2.2 正则性公理

所以集合论增加了一个看起来很没必要的 正则性公理 来避免集合包含其自身,以解决这种矛盾。

但正则性公理虽然解避免了矛盾,也限制了基于集合论的数理逻辑的能力,没办法去回答类似刚提到的“上帝能否造出自己搬不动的石头”这种在语法结构上良定义的命题。

好在,这样的命题往往是人造的,所以对自然研究的影响看似还不大。

当然,对数理逻辑而言,后来的哥德尔不完备定理,证明了存在的更让人心碎的局限,但不属于这个话题了。

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