悖论也分几种
1.非数理悖论
大部分悖论只是冠以悖论之名，其逻辑或数理非常普通，并没有任何问题
1.1 例如芝诺悖论
芝诺悖论从现代的角度来看，本质是偷换概念。
芝诺悖论先构造了一个状态序列：定义 状态k 为阿喀琉斯追至 状态k-1 时的乌龟所在位置的状态。
容易论证发现 当 \(k \to +\infty\) ，状态k 中的阿克琉斯 还是没有追上 状态k 中的乌龟。
由此得出结论“永远追不上”。
之所以第一次听起来感觉这个结论是悖论，是由于我们习惯的“永远”指时间 \(T \to +\infty\) 而非这里的什么状态序号 \(k \to +\infty\) 。结论偷换了概念。
缕清楚概念后其实得到的结论本应是“无论状态的序号 k 多大，阿喀琉斯也没追上”，这结论显然就没有任何问题。
当然，以上这也只是现在看起来显然的结论。
对于芝诺当时时代而言，人们还没认识到无穷小概念，更不知道无穷级数能收敛，无限的状态直观上理应对应无限的时间（根据毕达哥拉斯学派的数的单元概念）。
所以之诺悖论曾经确实是数理上的悖论。并且这样的批判在推动数理发展特别是对于连续量或者无穷小的认识上有不小的价值。
1.2 例如辛普森悖论
再比如辛普森悖论，只是由于常规思维的惯性误区，其数理结构也没有任何问题。
辛普森悖论中，常规思维认为“每个部分密度都更大，那总体平均密度也应更大”，听着有道理，是因为通常思维会默认被对比的“每个部分”比例相同。
而在辛普森悖论的各个案例中，这个部分的比例是不同的。案例中部分密度大的那方，其内部高密度相对高的部分比例很低，导致总体平均密度低。
就像我有一屋子的棉花和一箱子的铁，你有一屋子的铁和一箱子的棉花，即使我的棉花比你的棉花密度高，我的铁也比你的铁密度高，我总密度也还是低。
个人感觉生活中的遇见的大部分悖论，都源自这样的表述或者理解的问题，只要用数理逻辑工具稍耐心分析，就能清楚症结，指导正确的决策。
这是学习知识和练习数理逻辑的现实意义。
也是因为有类似辛普森悖论等等反直觉的例子，数学定理才一步步臻于严谨，以至于如果我们直接学习最终的数学结论，往往会被那些奇怪的条件给弄糊涂，但如果从反例或者发展史入手，会更容易理解这些定理和其条件的意义。
2. 数理悖论
除此之外，数理中也确实有自己的悖论
简单结构为 p与非p 同时成立。
也可指由命题 p 出发，经过严格推导，能得到 非p。
这违背了逻辑中通常期望的矛盾律，从而成为悖论。
而所谓的“严格推导”的严格，是需要有一套较完善的工具支撑的，所以按我的了解，这种悖论被略严格叙述也是在集合论出现之后（如果错误欢迎指点）。
题外话：康德倒是并不认为二律背反意味着错误，反而主张在遇见二律背反时应该去超越它，即辩证地看待p与非p，并且认为这种情况下两个方面通常与理性主义和经验主义相对应
2.1 罗素悖论
有比如 “我只知道我什么都不知道”、“上帝能否造出自己搬不动的石头”、“这句话是错的” 等等。
这些悖论都和罗素悖论（包装上故事后就是”理发师悖论”）有所同构：
构造集合 \(\Omega = \{x:x\notin x\} \)，基于集合论可以同时推论出 \(\Omega \in \Omega\) 和 \(\Omega \notin \Omega\) 两个结论，违背矛盾律。
2.2 正则性公理
所以集合论增加了一个看起来很没必要的 正则性公理 来避免集合包含其自身，以解决这种矛盾。
但正则性公理虽然解避免了矛盾，也限制了基于集合论的数理逻辑的能力，没办法去回答类似刚提到的“上帝能否造出自己搬不动的石头”这种在语法结构上良定义的命题。
好在，这样的命题往往是人造的，所以对自然研究的影响看似还不大。
当然，对数理逻辑而言，后来的哥德尔不完备定理，证明了存在的更让人心碎的局限，但不属于这个话题了。