集合对偶律证明

集合对偶律

\begin{align}
\overline{\cup_{i=1}^{n} A_i} &=\cap_{i=1}^{n}\overline{A_i} \\
\overline{\cap_{i=1}^{n} A_i} &=\cup_{i=1}^{n}\overline{A_i}
\end{align}

证明

对于 n 个集合的对偶律

\begin{align}
\overline{\cup_{i=1}^{n} A_i} &=\cap_{i=1}^{n}\overline{A_i}
\end{align}

可以首先证明对于两个集合的对偶律:

\begin{align}
\overline{B \cup A} &=\overline{B} \cap \overline{A}
\end{align}

证明时可以从集合的相等定义出发,即如果集合 A,集合B相等,则\(\forall x \in A,x \in B\) 且 \(\forall x \in B,x \in A\)

\begin{align}
&\forall x \in \overline{B \cup A}\\
&\Rightarrow (x\notin B )and( x\notin A)\\
&\Rightarrow (x \in \overline{B})and(x \in \overline{A}) \\
&\Rightarrow x \in \overline{B} \cup \overline{A}
\end{align}

再证

\begin{align}
&\forall x \in \overline{B} \cap \overline{A} \\
&\Rightarrow (x \notin B)or(x \notin A)\\
&\Rightarrow x \notin B \cup A \\
&\Rightarrow x \in \overline{B \cup A}
\end{align}

于是

\begin{align}
\overline{B \cup A} &=\overline{B} \cap \overline{A}
\end{align}

对于多个集合只需递归证明即可:

\begin{align}
\overline{A \cup (B \cup C)} &=\overline{A} \cap \overline{B \cup C}
\end{align}

如果 C 是一群集合的并则继续递归,即可得证。(此证明方式要求集合数量可数)

而对于\(\overline{\cap_{i=1}^{n} A_i} =\cup_{i=1}^{n}\overline{A_i}\)的证明则几乎和上面类似

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