1. 说明
递推数列极值问题在高数,或者考研数学中不时出现。通常是个难点。且主要难在其灵活性,每道题的解法看起来虽有相似之处,但有很多关键的微妙差别。
这种灵活性使看答案的时候往往惊呼妙哉,但自己面对一道全新题时却由于不能直接套经验,而不知如何下手。
我也经常卡在这种题目上。
不过思考之后,还是发现一些套路式的方式可以解决至少一半左右这样的问题。
2. 启发
先对递推数列有个形象化感觉。
递推数列,通常可以将条件化作,已知 \(x_0\),且已知递推式 \(x_{n+1}=f(x_n)\)。
容易猜到,如果存在 \(\lim_{n \to +\infty}x_n=a\) ,那 a 一定满足 \(a=f(a)\)
这意味着曲线 \(y=x\) 与曲线 \(y=f(x)\) 一定有交点,且交点刚好就是极限 a。
随便找了一个 \(f(x)=0.8(\ln(e^x -1)-\ln x) +1\)。
研究一下 x 到底是怎么迭代的,可以发现就是图中的那根折线,弯弯曲曲向交点收敛,且从图上来看,明显当 x 取一个大于交点的值时,也能收敛。甚至
这样的 f(x) 也是可以让数列震荡收敛的。
那什么情况下数列不会收敛呢,熟悉这种图之后,会发现,当 \(|f^{‘}(x)|>=1\) 时就不再收敛了,如下图:
这给了两个启发:
- 证明收敛的关键之一是证明 \(|f^{‘}(x)|<1\) 对所有 \(x_n\) 有效,且基于此去证明极限存在。
- 如果 \(f^{‘}(x)>0\) 则理应 \(x_n\) 是单调的,可能可以配合单调有界去证明极限存在。
而一旦证明极限存在剩下就对 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两边求极限即可得到结果。
于是接下来就是思考,怎么把这两个启发补全成证明。
3. 证明套路1
根据题目条件,应有 \(x_n – x_{n-1}=f(x_{n-1})-f(x_{n-2})\)
如果 \(f(x)\) 满足 x 取值区间内,导数连续。利用拉格朗日中值定理,有 \(x_n – x_{n-1}=f^{‘}(\xi)(x_{n-1}-x_{n-2})\)
如果我们能证明在某个范围内有 \(|f^{‘}(x)| \leq a<1\),且所有 \(x_n\) 属于这个范围。
则 \(\lim_{n \to +\infty}|\frac{x_n – x_{n-1}}{\xi)(x_{n-1}-x_{n-2}}|<1\)
则级数 \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} (x_n – x_{n-1})\) 收敛
则 \(\lim_{n \to +\infty} (x_n – x_{1})\) 存在
即 \(\lim_{n \to +\infty}x_n\) 存在,所以可以对 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两边求极限的到结果。
4. 证明套路2
如果 \(f(x)\) 满足 x 取值区间内,导数连续,还是利用拉格朗日定理,有 \(x_n – x_{n-1}=f^{‘}(\xi)(x_{n-1}-x_{n-2})\)
如果可以证明在某个范围内有 \(f^{‘}(x)>0\) ,且 \(x_n\) 在这个范围内
则意味着 \(x_n – x_{n-1}\) 与 \(x_{n-1}-x_{n-2}\) 同号。具体符号可以算出 \(x_1,x_2\) 后的到,以次证明了单调。
再根据 \(x_0\) 的取值,和 \(f(x)\) 的性质,找一个下界(这步还是要点灵活性,但一般不会太难),便可以凑齐单调有界
得到 \(\lim_{n \to +\infty}x_n\) 存在,也可以对 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两边求极限的到结果。
5. 证明套路局限性
- \(f(x)\) 需满足 x 取值区间内,导数连续,以满足拉格朗日条件
- 要能够证明 \(|f^{‘}(x)| \leq a<1\)
部分很极限的题目可能不满足这两个条件。
不过对多数递推题目而言,应该是可用的。