求递推数列极值的方法总结

1. 说明

递推数列极值问题在高数,或者考研数学中不时出现。通常是个难点。且主要难在其灵活性,每道题的解法看起来虽有相似之处,但有很多关键的微妙差别。

这种灵活性使看答案的时候往往惊呼妙哉,但自己面对一道全新题时却由于不能直接套经验,而不知如何下手。

我也经常卡在这种题目上。

不过思考之后,还是发现一些套路式的方式可以解决至少一半左右这样的问题。

2. 启发

先对递推数列有个形象化感觉。

递推数列,通常可以将条件化作,已知 \(x_0\),且已知递推式 \(x_{n+1}=f(x_n)\)。

容易猜到,如果存在 \(\lim_{n \to +\infty}x_n=a\) ,那 a 一定满足 \(a=f(a)\)

这意味着曲线 \(y=x\) 与曲线 $y=f(x)$ 一定有交点,且交点刚好就是极限 a。

随便找了一个 \(f(x)=0.8(\ln(e^x -1)-\ln x) +1\)。

研究一下 x 到底是怎么迭代的,可以发现就是图中的那根折线,弯弯曲曲向交点收敛,且从图上来看,明显当 x 取一个大于交点的值时,也能收敛。甚至

这样的 f(x) 也是可以让数列震荡收敛的。

那什么情况下数列不会收敛呢,熟悉这种图之后,会发现,当 \(|f^{‘}(x)|>=1\) 时就不再收敛了,如下图:

这给了两个启发:

  1. 证明收敛的关键之一是证明 \(|f^{‘}(x)|<1\) 对所有 \(x_n\) 有效,且基于此去证明极限存在。
  2. 如果 \(f^{‘}(x)>0\) 则理应 \(x_n\) 是单调的,可能可以配合单调有界去证明极限存在。

而一旦证明极限存在剩下就对 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两边求极限即可得到结果。

于是接下来就是思考,怎么把这两个启发补全成证明。

3. 证明方法1

根据题目条件,应有 \(x_n – x_{n-1}=f(x_{n-1})-f(x_{n-2})\)

如果 \(f(x)\) 满足 x 取值区间内,导数连续。利用拉格朗日中值定理,有 \(x_n – x_{n-1}=f^{‘}(\xi)(x_{n-1}-x_{n-2})\)

如果我们能证明在某个范围内有 \(|f^{‘}(x)| \leq a<1\),且所有 \(x_n\) 属于这个范围。

则 \(\lim_{n \to +\infty}|\frac{x_n – x_{n-1}}{\xi)(x_{n-1}-x_{n-2}}|<1\)

则级数 \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} (x_n – x_{n-1})\) 收敛

则 \(\lim_{n \to +\infty} (x_n – x_{1})\) 存在

即 \(\lim_{n \to +\infty}x_n\) 存在,所以可以对 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两边求极限的到结果。

4. 证明方法2

如果 \(f(x)\) 满足 x 取值区间内,导数连续,还是利用拉格朗日定理,有 \(x_n – x_{n-1}=f^{‘}(\xi)(x_{n-1}-x_{n-2})\)

如果可以证明在某个范围内有 \(f^{‘}(x)>0\) ,且 \(x_n\) 在这个范围内

则意味着 \(x_n – x_{n-1}\) 与 \(x_{n-1}-x_{n-2}\) 同号。具体符号可以算出 \(x_1,x_2\) 后的到,以次证明了单调。

再根据 \(x_0\) 的取值,和 \(f(x)\) 的性质,找一个下界(这步还是要点灵活性,但一般不会太难),便可以凑齐单调有界

得到 \(\lim_{n \to +\infty}x_n\) 存在,也可以对 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两边求极限的到结果。

5. 例题应用

待补

6. 局限性

  1. \(f(x)\) 需满足 x 取值区间内,导数连续,以满足拉格朗日条件
  2. 要能够证明 \(|f^{‘}(x)| \leq a<1\)

不过对多数递推题目而言,这两者应该是能做到的。

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